Всего: 141 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Лыжник спускается с вершины горы к её подножию за 10 минут, а сноубордист — за 5 минут. Спустившись, они тут же поднимаются вверх на подъёмнике, а затем сразу же спускаются вновь. В 12:00 они одновременно начали спуск с вершины. Впервые они встретились у подножия в 14:10. Определите время подъёма от подножия до вершины.
Тогда
равна 
В пунктах A и B находится по автомобилю. Каждую минуту эти два автомобиля одновременно переезжают в какой-либо соседний пункт (пункты, соединённые отрезками, называют соседними). Докажите, что автомобили никогда не окажутся одновременно в одном пункте.
имеет вид: 
a1, 
Следовательно, существует натуральное a такое, что 
Далее 
Остается найти минимальное натуральное n, для которого существует натуральное 
такое, что 
Следовательно, 
Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …
У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …
Найдите сумму первых 400 членов этой последовательности.
— количество чисел с суммой цифр 18, 
— количество чисел с суммой цифр 27.
Будем все числа трактовать как четырехзначные: 9 = 0009, 
чисел с суммой цифр 9 вида 1m1m2m3, 
чисел 2m1m2m3 и, наконец, 
чисел 3m1m2m3. Заметим, что при подсчете количества чисел вида 3m1m2m3 выполняется равенство 
и, следовательно, 
Для получения ответа остается вычислить 
лежит на окружности. Важно лишь, что она находится выше прямой MN и вне окружности, описанной около треугольника BMN.
симметричную точке 
лежит выше прямой MN и вне меньшей окружности. По доказанному, угол MK1N не превосходит 60°. Утверждение доказано полностью.
Поэтому числа a, b, c будем искать в виде 
Остается подобрать целые неотрицательные показатели 
так, чтобы выполнялись соотношения 
Лыжник спускается с вершины горы к её подножию за 9 минут, а сноубордист — за 7 минут. Спустившись, они тут же поднимаются вверх на подъёмнике, а затем сразу же спускаются вновь. В 12:00 они одновременно начали спуск с вершины. Впервые они встретились у подножия в 17:45. Определите время подъёма от подножия до вершины.
Из условий задачи следует, что впервые у подножия горы они встретились через 345 минуты. Значит, впервые на вершине горы они встретятся через 
минут. В таком случае x — это такое минимальное натуральное число, что 
— делитель 
и 
—
Перебором устанавливаем, что 
На плоскости изображён квадрат
клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
— нечётное число. Раскрасим узлы в черный белый цвет так, чтобы соседние узлы имели разные цвета. Тогда маршрут начинается узлом оного цвета, а заканчивается узлом другого цвета. Но тогда такой маршрут имеет чётную длину (количество пройденных узлов). Следовательно, невозможно построить соответствующий маршрут.
и 
равны друг другу (так как оба равны удвоенной площади треугольника, умноженной на 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
Равенство доказано.Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …
У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …
Найдите сумму первых 550 членов этой последовательности.
— количество чисел в этом диапазоне, у которых сумма цифр равна 9, c18 — количество чисел с суммой цифр 18, 
т. е. те, у которых первая цифра ноль. Выясним, сколькими способами число 9 может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых: 
чисел 4m1m2m3. В итоге, 
и, следовательно, 
Для получения ответа остается вычислить 
равна
Тогда произведение чисел 
и 
равно 2016 и при этом числа могут быть представлены: 
и 
(один из возможных ответов).
и 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
имеет решение в целых числах.
Пусть числа A и B взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа y и z, что 
Следовательно, 
Поэтому наше уравнение имеет следующее решение в целых числах:
имеет 4 различных действительных корня 
Найдите многочлен вида 
получаем требуемый многочлен g(y), поскольку
Имеется неограниченное количество пробирок трёх видов — А, В и С. Каждая из пробирок содержит один грамм раствора одного и того же вещества. В пробирках вида А содержится 10% раствор этого вещества, в пробирках В — 20% раствор и в С — 90% раствор. Последовательно, одну за другой, содержимое пробирок переливают в некоторую ёмкость. При этом при двух последовательных переливаниях нельзя использовать пробирки одного вида. Какое наименьшее количество переливаний надо сделать, чтобы получить в ёмкости 20,17% раствор? Какое наибольшее количество пробирок вида C может быть при этом использовано?
равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть, докажем, что существуют неотрицательные целые числа a, b и с такие, что
)
Заметим, что для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b справедливо равенство: 
Действительно, любой делитель произведения ab есть произведение делителя a и делителя b. И наоборот: умножив делитель a на делитель b, получим делитель произведения ab. Это же, очевидно, верно и для квадратов делителей (квадрат делителя произведения равен произведению квадратов делителей сомножителей и наоборот).
Здесь pi — попарно различные простые числа, и 
и 
Поскольку 
то